三元二次型值上的三重除数函数和

设 $\tau_3(n)$ 为三重除数函数，即方程 $d_1d_2d_3=n$ 在自然数的解的个数。我们证明了 $$\sum_{1\leq n_1,n_2,n_3\leq \sqrt{x}}\tau_3(n_1^2+n_2^2+n_3^2)=c_1x^{\frac{3}{2}}(\log x)^2+ c_2x^{\frac{3}{2}}\log x +c_3x^{\frac{3}{2}} +O_{\varepsilon}(x^{\frac{11}{8}+\varepsilon})$$ 对某些常数 $c_1$, $c_2$ 和 $c_3$ 成立。