除数函数的第$r$阶矩：一种初等方法

设$\tau(n)$为$n$的除数个数。我们给出如下事实的初等证明：对于任意整数$r\ge 2$，有$$\sum_{n\le x} \tau(n)^r =xC_{r} (\log x)^{2^r-1}+O(x(\log x)^{2^r-2}).$$ 此处，$$C_{r}=\frac{1}{(2^r-1)!} \prod_{p\ge 2}\left( \left(1-\frac{1}{p}\right)^{2^r} \left(\sum_{\alpha\ge 0} \frac{(\alpha+1)^r}{p^{\alpha}}\right)\right).$$