当除数个数为二次剩余时

设 $q > 2$ 为素数，定义 $\lambda_q := \left( \frac{\tau}{q} \right)$，其中 $\tau(n)$ 是 $n$ 的除数个数，$\left( \frac{\cdot}{q} \right)$ 为勒让德符号。当 $\tau(n)$ 是模 $q$ 的二次剩余时，$\left( \lambda_q \star \mathbf{1} \right) (n)$ 可能接近 $n$ 的除数个数。本文旨在将函数 $\lambda_q \star \mathbf{1}$ 的均值与著名的 $\tau$ 的平均阶进行比较。证明表明结果严重依赖于 $\left( \frac{2}{q} \right)$ 的值。利用关于接近某些光滑曲线的整数点理论的深刻结果，还给出了 $q=5$ 情况下短和的一个界。