关于二次剩余相关行列式的三个猜想的证明

本文证实了 Z.-W. Sun 关于行列式的三个猜想。我们首先证明任意奇整数 $n>3$ 整除行列式 $$\left|(i^2+dj^2)\left(\frac{i^2+dj^2}n\right)\right|_{0\le i,j\le (n-1)/2},$$ 其中 $d$ 为任意整数且 $(\frac{\cdot}n)$ 为雅可比符号。随后我们证明有关 $|(i+dj)^n|_{0\le i,j\le n-1}$ 与 $|(i^2+dj^2)^n|_{0\le i,j\le n-1}$ 的若干可除性结果，其中 $d\not=0$ 且 $n>2$ 为整数。最后，对任意奇素数 $p$ 及满足 $p\nmid cd$ 的整数 $c$ 和 $d$，我们完全确定了勒让德符号 $(\frac{S_c(d,p)}p)$，其中 $S_c(d,p):=|(\frac{i^2+dj^2+c}p)|_{1\le i,j\le(p-1)/2}$。