关于包含 Legendre 符号的行列式的评估

设 $p>3$ 为素数，$(\frac{\cdot}{p})$ 为 Legendre 符号。设 $A_p(x)$ 表示矩阵 $[x+a_{ij}]_{1\leqslant i,j\leqslant (p-1)/2}$，其中 $$a_{ij}=\begin{cases} (\frac{j}{p}) &\text{if} \ i=1, \$\frac{i+j}{p}) &\text{if} \ i>1. \end{cases}$$ 在 2018 年，Z.-W. Sun 猜想若 $p\equiv 3 \pmod{4}$，则 $\det A_p(0)=-2^{(p-3)/2}$，该猜想后被 G. Zaimi 证实。在本文中我们完全评估 $\det A_p(x)$。