关于涉及 Legendre 符号线性组合的行列式

在本文中，我们通过计算行列式 $$\det\left[x+\left(\frac{i-j}p\right)+\left(\frac ip\right)y+\left(\frac jp\right)z+\left(\frac{ij}p\right)w\right]_{0\le i,j\le(p-3)/2}$$ 来证明第二作者的一个猜想，其中 $p$ 为任意奇素数，$(\frac{\cdot}p)$ 表示 Legendre 符号。特别地，当 $p\equiv 3\pmod4$ 时，该行列式等于 $x$。