关于 R. Chapman“邪恶行列式”的一个推广

设 $p$ 为奇素数，$x$ 为不定元。最近，孙智伟提出如下猜想：$$\det\left[x+\left(\frac{j-i}{p}\right)\right]_{0\le i,j\le \frac{p-1}{2}}=\begin{cases} (\frac{2}{p})pb_px-a_p & \mbox{若}\ p\equiv 1\pmod4, 1 & \mbox{若}\ p\equiv 3\pmod4, \end{cases}$$ 其中 $a_p$ 和 $b_p$ 是与实二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ 的基本单位和类数相关的有理数。本文基于 Vsemirnov 对 Chapman“邪恶行列式”的分解，证实了孙的上述猜想。