与 $D_p(b,1)$ 相关的勒让德符号

设 $p$ 为奇素数。对于任意 $b,c\in\mathbb{Z}$，孙智伟引入了新型行列式 $$D_p(b,c)=|(i^2+bij+cj^2)^{p-2}|_{1\leqslant i,j\leqslant p-1},$$ 并研究了其算术性质。本文主要证明当 $(\frac{b^2-4}{p})=-1$ 且 $p\equiv1\pmod 4$ 时，$$\left(\frac{D_p(b,1)}{p}\right)=\left(\frac{2b}{p}\right)$$。作为我们结果的一个应用，我们证实了孙的若干猜想。