关于涉及 $(\frac{j+k}p)\pm(\frac{j-k}p)$ 的行列式

设 $p=2n+1$ 为奇素数。在本文中，我们主要计算涉及 $(\frac {j+k}p)\pm(\frac{j-k}p)$ 的行列式，其中 $(\frac{\cdot}p)$ 表示 Legendre 符号。当 $p\equiv1\pmod4$ 时，我们确定了矩阵 $$\left[\left(\frac{j+k}p\right)+\left(\frac{j-k}p\right)\right]_{1\le j,k\le n}\ \ \text{和}\ \ \left[\left(\frac{j+k}p\right)-\left(\frac{j-k}p\right)\right]_{1\le j,k\le n}$$ 的特征多项式，并建立了通用恒等式 \begin{align*} &\ \left|x+\left(\frac{j+k}p\right)+\left(\frac{j-k}p\right)+\left(\frac jp\right)y+\left(\frac kp\right)z+\left(\frac{jk}p\right)w\right|_{1\le j,k\le n} \\=&\ (-p)^{(p-5)/4}\left(\left(\frac{p-1}2\right)^2wx-\left(\frac{p-1}2y-1\right)\left(\frac{p-1}2z-1\right)\right). \end{align*}