论某些涉及剩余数的 Sun conjectural 行列式

对于奇素数 $p$ 和整数 $d, k, m$，其中 $\gcd(p,d)=1$ 且 $2\leq k\leq \frac{p-1}{2}$，我们考虑行列式 \n\begin{equation*}\nS_{m,k}(d,p) = \left|(\alpha_i - \alpha_j)^m\right|_{1 \leq i,j \leq \frac{p-1}{k}},\n\end{equation*}\n其中 $\alpha_i$ 为模 $p$ 的不同 $k$ 次剩余。本文我们推导了作为 Sun 某些结果 generalizations 的行列式 $S_{m,k}(d,p)$ 的剩余属性。利用这些，我们进一步证明了与 Sun 的一些猜测有关的\n$$\left(\frac{\sqrt{S_{1+\frac{p-1}{2},2}(-1,p)}}{p}\right) \text{ 和 } \left(\frac{\sqrt{S_{3+\frac{p-1}{2},2}(-1,p)}}{p}\right).$$\n此外，我们研究了使得 $p\ |\ S_{m+\frac{p-1}{k},k}(-1,p)$ 的素数 $p$ 的个数，并确认了与 $S_{m+\frac{p-1}{2},2}(-1,p)$ 有关的另一个 Sun 猜测。