杨辉矩阵与 Legendre 符号矩阵的两个行列式评估

我们证明了与 Sun 关于 Legendre 符号矩阵的猜想相关的两个行列式评估。第一个结果通过将四个自变量的行列式化简为相邻小角块的逆矩阵，解决了关于 $p\equiv1\pmod4$ 情形下猜想 4.8(i) 的问题。核心评估为\n\n$$\det H=\leg{2}{p}(b'_p-a'_p),\qquad U^TH^{-1}U= \begin{pmatrix} \leg{2}{p}\dfrac{pb'_p-a'_p}{b'_p-a'_p}&1\\[2mm] \dfrac{b'_p-a'_p-1}{b'_p-a'_p}&1 \end{pmatrix},$$\n\n其中 $U=(\mathbf1,\eta)$ 且 $\eta_j=\chi(j)$。该证明使用了 Vsemirnov 对 Chapman 矩阵的分解以及相邻余因子计算。第二个结果给出了 Sun 猜想 4.10(i) 所涉及行列式的关于任意有序半系统（取符号）以及所有 $u,v\in\mathbb F_p$ 的精确同余式。其标准特化恢复了所述平方类断言。平方类断言本身也来自 Sun 之前对 $T(d,p)$ 的评估；本文的贡献在于对精确的半系统细化。