$\mathbb{F}_p$ 上的椭圆曲线与勒让德矩阵的行列式

具有勒让德符号元素的行列式与有限域上的特征和及椭圆曲线有密切关系。近年来，Sun、Krachun 及其合作者研究了该课题。在本文中，我们证实 Sun 提出的一些猜想并研究若干相关课题。例如，给定任意满足 $d\ne0$ 且 $c^2-4d\ne0$ 的整数 $c,d$，我们证明存在无穷多个奇素数 $p$ 使得 $$\det\bigg[\left(\frac{i^2+cij+dj^2}{p}\right)\bigg]_{0\le i,j\le p-1}=0,$$ 其中 $(\frac{\cdot}{p})$ 为勒让德符号。这证实了 Sun 的一个猜想。