序列矩阵的旋转对称性及其在 Jacobi 符号中的应用

设 $p$ 为一个奇素数且 $\genfrac{(}{)}{}{}{\cdot}{p}$ 表示模 $p$ 的 Legendre 符号。若 $p$ 具有形式 $p= n^2+1$，则容易验证对所有 $a\in \mathbb Z/p\mathbb Z$ 有 $\genfrac{(}{)}{}{}{a}{p} = \genfrac{(}{)}{}{}{-a}{p}$。我们识别了 $\mathbb Z/(n^2+1)\mathbb Z$ 上序列矩阵的各种对称性，无论 $n^2+1$ 是否为素数。我们从这些结果推导出涉及模 $n^2+1$ 的 Jacobi 符号的一组对称性，其推广了上述关于 Legendre 符号的观察。