关于涉及 $(\frac{j^2-k^2}p)$ 和 $(\frac{jk}p)$ 的行列式

设 $p$ 为奇素数，$(\frac{\cdot}p)$ 为勒让德符号。本文研究行列式 $$\det\left[\left(\frac{j^2-k^2}p\right)+\left(\frac{jk}p\right)w\right]_{\delta\le j,k\le (p-1)/2}$$，其中 $\delta\in\{0,1\}$。例如，我们证明当 $p\equiv3\pmod4$ 且 $\delta=0$ 时，该行列式与 $w$ 无关。