关于某些行列式及其包含 Legendre 符号平方根的行列式

设 $p>3$ 为素数，$(\frac{.}{p})$ 为 Legendre 符号。对于任意使 $p\nmid d$ 的整数 $d$ 及任意正整数 $m$，Sun 引入行列式 $$T_m(d,p)=\det\left[(i^2+dj^2)^m\left(\frac{i^2+dj^2}{p}\right)\right]_{1\leqslant i,j \leqslant (p-1)/2},$$ 以及 $$D_p^{(m)}= \det\left[(i^2-j^2)^m\left(\frac{i^2-j^2}{p}\right)\right]_{1\leq i,j\leq (p-1)/2} .$$ 本文获得 $T_m (d,p)$ 与 $\sqrt{D_p^{(m)}}$ 对于某些 $m$ 的性质。我们也确认了 Zhi-Wei Sun 所提出的一些相关猜想。