关于有限域上涉及单位根的广义勒让德矩阵

本文受 Chapman、Vsemirnov 及 Sun 等人工作的启发，研究有限域上广义勒让德矩阵的若干算术性质。例如，令 $a_1,\cdots,a_{(q-1)/2}$ 为含 $q$ 个元素且 $2\nmid q$ 的有限域 $\mathbb{F}_q$ 中所有非零平方元，我们给出 $D_{(q-1)/2}=\det[(a_i+a_j)^{(q-3)/2}]_{1\le i,j\le (q-1)/2}$ 的显式值。特别地，若 $q=p$ 为大于 $3$ 的素数，则 $$\left(\frac{\det D_{(p-1)/2}}{p}\right)= \begin{cases} 1 & \mbox{if}\ p\equiv1\pmod4, (-1)^{(h(-p)+1)/2} & \mbox{if}\ p\equiv 3\pmod4\ \text{and}\ p>3, \end{cases}$$ 其中 $(\cdot/p)$ 为勒让德符号，$h(-p)$ 为 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 的类数。