关于包含有限域高斯和的循环矩阵

受 L. Carlitz 和 Z.-W. Sun 关于循环矩阵的工作启发，本文研究包含有限域高斯和的循环矩阵，这些矩阵可视为与 Gamma 函数相关矩阵的有限域类比。例如，设 $q=p^n$ 为奇素数幂，其中 $p$ 为素数且 $n\in\mathbb{Z}^+$。设 $\zeta_p=e^{2\pi{\bf i}/p}$，且设 $\chi$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 中所有乘性字符的生成器。对于高斯和 $$G_q(\chi^{r})=\sum_{x\in\mathbb{F}_q}\chi^{r}(x)\zeta_p^{{\rm Tr}_{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p}(x)},$$ 我们证明了 $$\det \left[G_q(\chi^{2i+2j})\right]_{0\le i,j\le (q-3)/2}=(-1)^{\alpha_p}\left(\frac{q-1}{2}\right)^{\frac{q-1}{2}}2^{\frac{p^{n-1}-1}{2}},$$其中 $$\alpha_p= \begin{cases} 1 & \mbox{if}\ n\equiv 1\pmod 2, (p^2+7)/8 & \mbox{if}\ n\equiv 0\pmod 2. \end{cases}$$