有限域上分圆多项式的复合积与显式因式分解

设 $q = p^s$ 为素数 $p$ 的幂，$\mathbb{F}_q$ 为含 $q$ 个元素的有限域。本文给出了分圆多项式 $\Phi_{2^nr}$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上的显式因式分解，其中 $r \geq 3$ 且 $q$ 均为奇数，$\gcd(q,r) = 1$，$n\in \mathbb{N}$。此前，仅实现了 $r = 1,\ 3,\ 5$ 的特殊情况。为此，我们假设 $\Phi_r$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上的显式因式分解是已知的。设 $n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}... p_s^{e_s}$ 为 $n \in \mathbb{N}$ 分解为不同素数 $p_i$ ($1\leq i \leq s$) 的幂的形式。在 $q$ 模所有这些素数幂 $p_i^{e_i}$ 的阶两两互素的情况下，我们展示了如何从每个 $\Phi_{p_i^{e_i}}$ 的因子获得 $\Phi_{n}$ 的显式因子。我们还演示了当 $q$ 是模 $m$ 的原根且 $\gcd(m,n) = \gcd(\phi(m),\ord_n(q)) = 1$ 时，如何从 $\Phi_n$ 的因式分解获得 $\Phi_{mn}$ 的因式分解。此处 $\phi$ 为欧拉函数，$\ord_n(q)$ 表示 $q$ 模 $n$ 的乘法阶。此外，我们构造了一类新的 $\mathbb{F}_q$ 上的不可约多项式，并推广了 Varshamov (1984) \cite{Varshamov} 的结果。