高斯超几何函数与分圆矩阵

设 $q=p^n$ 为奇素数幂，$\mathbb{F}_q$ 为含 $q$ 个元素的有限域。设 $\widehat{\mathbb{F}_q^{\times}}$ 为 $\mathbb{F}_q$ 的所有乘法特征标构成的群，$\chi$ 为 $\widehat{\mathbb{F}_q^{\times}}$ 的一个生成元。本文研究了涉及 $\mathbb{F}_q$ 中非零平方的某些分圆矩阵的算术性质。例如，令 $s_1,s_2,\cdots,s_{(q-1)/2}$ 为 $\mathbb{F}_q$ 中所有的非零平方。对任意整数 $1\le r\le q-2$，定义矩阵 $$B_{q,2}(\chi^r):=\left[\chi^r(s_i+s_j)+\chi^r(s_i-s_j)\right]_{1\le i,j\le (q-1)/2}.$$ 我们证明，若 $q\equiv 3\pmod 4$，则 $$\det (B_{q,2}(\chi^r))=\prod_{0\le k\le (q-3)/2}J_q(\chi^r,\chi^{2k})= \begin{cases} (-1)^{\frac{q-3}{4}}{\bf i}^nG_q(\chi^r)^{\frac{q-1}{2}}/\sqrt{q} & \mbox{若}\ r\equiv 1\pmod 2,\\ G_q(\chi^r)^{\frac{q-1}{2}}/q & \mbox{若}\ r\equiv 0\pmod 2, \end{cases}$$ 其中 $J_q(\chi^r,\chi^{2k})$ 与 $G_q(\chi^r)$ 分别为 $\mathbb{F}_q$ 上的雅可比和与高斯和。