有限域的若干子群及其在显式因式分解中的应用

设 $\mathcal{S}_q$ 表示含 $q$ 个元素的奇特征有限域 $\mathbb{F}_q$ 的乘法群 $\mathbb{F}_q^*$ 中所有平方元素构成的群。设 $\mathcal{O}_q$ 为 $\mathbb{F}_q^*$ 中所有奇阶元素组成的集合。则 $\mathcal{O}_q$ 作为 $\mathcal{S}_q$ 的子群出现。本文中，我们证明若 $q=2t+1$ 则 $\mathcal{O}_q=\langle4\rangle$，若 $q=4t+1$ 则 $\mathcal{O}_q=\langle t\rangle$，其中 $q$ 和 $t$ 为奇素数。本文还给出了一种直接方法，当 $q$ 和 $t$ 为满足 $q=2t+1$ 或 $q=4t+1$ 的奇素数时，利用 $\mathcal{S}_q$ 和 $\mathcal{O}_q$ 的生成元信息，得到 $\mathbb{F}_q[x]$ 中 $x^{2^nt}-1$ 的不可约因式的系数。