有限域上多项式幂及其复合的系数

对于任意给定的有限域$\mathbb{F}_q$上次数至多为$q-1$的多项式$f$，我们将其与一个$q\times q$矩阵$A(f)=(a_{ik})$相关联，该矩阵由其次幂$(f(x))^k=\sum_{i=0}^{q-1}a_{ik} x^i$模$x^q -x$的系数组成，其中$k=0,1,\ldots,q-1$。该矩阵具有一些有趣的性质，例如$A(g\circ f)=A(f)A(g)$，其中$(g\circ f)(x) = g(f(x))$是多项式$g$与多项式$f$的复合。特别地，对于任意$k$次复合$f^{(k)}$（$k \geq 0$），有$A(f^{(k)})=(A(f))^k$。由此，我们证明$A(f)$的秩给出了$f$的值集的基数。此外，若$f$是置换多项式，则与其逆相关的矩阵$A(f^{(-1)})=A(f)^{-1}=PA(f)P$，其中$P$是反对角置换矩阵。作为一个应用，我们根据关联矩阵的阶研究了由$a_n = f^{(n)}(a_0)$以初值$a_0$生成的非线性同余伪随机序列$\bar{a} = \{a_0, a_1, a_2, ... \}$的周期。最后我们证明当$f$是$\mathbb{F}_q$上的置换多项式时，$A(f)$在$\mathbb{F}_q$的某个扩张域上可对角化。