Makar-Limanov关于多项式在矩阵上取值问题

设 $F$ 为一个无限域，令 $f \in F\{X_1, \dots,X_m\}$ 为一个非交换多项式。部分回答Makar-Limanov的疑问，我们证明存在数目 $d$ 和 $m'$，使得当 $F$ 在取 $d$ 次根的情况下，对于任意 $n \ge m'$，存在矩阵 $A_1,\dots,A_m$ 在 $M_n(F)$ 中，使得 $f(A_1,\dots,A_m)$ 为上三角矩阵，且具有 $n-m'$ 个预先指定的对角条目。当 f 为齐次时，$f(A_1,\dots,A_m)$ 为对角矩阵，且具有 $n-m'$ 个预先指定的对角条目。当 f 为多线性时，可取 $d=1$ 且 $m' = [\frac{m-1}{2}]$，且 $f(A_1,\dots,A_m)$ 的左上 $(n-m')\times(n-m')$ 块可取为 $diag(\beta_1,\dots, \beta_{n-m'})$，其中 $\beta_i$ 为 indeterminates。此外，若 $f$ 不是 $k \times k$ 矩阵的多项式同一性，则至少可取 $n - k$ 个特征值的 $f(A_1,\dots,A_m)$ 为代数独立。