每个矩阵都相似于伴随矩阵的多项式吗？

给定域 $F$、整数 $n\geq 1$ 和矩阵 $A\in M_n(F)$，是否存在多项式 $f,g\in F[X]$，其中 $f$ 是 $n$ 次首一多项式，使得 $A$ 相似于 $g(C_f)$，这里 $C_f$ 是 $f$ 的伴随矩阵？对于无限域，答案显然是肯定的，因此我们专注于有限域。在这种情况下，只要 $|F|\geq n-2$，我们就给出肯定的回答。此外，对于任何有限域 $F$（设 $|F|=m$），我们构造了一个矩阵 $A\in M_{m+3}(F)$，它不相似于任何形式为 $g(C_f)$ 的矩阵。上述内容有用且具有独立兴趣的是，一种仅根据 $f$ 和 $g$ 确定任意给定矩阵 $g(C_f)$ 相似类型的构造性过程，无需求助於 $F$ 或其任何扩域中的多项式根。这进而产生了一种算法，给定 $g$ 和任意 $A$ 的不变因子，返回 $g(A)$ 的初等因子。这是一种有理过程，不同于利用 $A$ 的 Jordan 分解来寻找 $g(A)$ 分解的经典方法。最后，扩展作者先前的结果，我们证明了对于具有分式域 $F$ 的整闭环 $R$ 以及伴随矩阵 $C,D$，$M_n(R)$ 的子代数 $R< C,D>$ 是一个秩为 $n+(n-m)(n-1)$ 的自由 $R$-模，其中 $m$ 是 $\gcd (f,g)\in F[X]$ 的次数，并给出了 $R< C,D>$ 关于 $C$ 和 $D$ 的表示。提供了一个反例，表明如果 $R$ 不是整闭的，则 $R< C,D>$ 不一定是自由 $R$-模。前述信息用于研究 $M_n(R)$ 等作为 $R[X]$-模的性质。