关于同构于有限域的矩阵代数与平面 Dembowski-Ostrom 单项式

设 $p$ 为素数，$n$ 为正整数。作为第一个主要结果，我们给出一个确定性算法，用于判定矩阵代数 $\mathbb{F}_p[A_1,\dots,A_t]$（其中 $A_1,\dots,A_t \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{F}_p)$）是否为有限域，该算法在 $\mathbb{F}_p$ 中至多执行 $\mathcal{O}(tn^6\log(p))$ 次初等运算。在肯定情形下，算法返回一个定义元 $a$，使得 $\mathbb{F}_p[A_1,\dots,A_t] = \mathbb{F}_p[a]$。随后我们研究 Dembowski-Ostrom (DO) 多项式的扩展仿射等价不变量。更确切地，对 DO 多项式 $g \in \mathbb{F}_{p^n}[x]$，我们将其关联到一个由系数在 $\mathbb{F}_p$ 中的 $n \times n$ 矩阵组成的集合 $\mathrm{Quot}(\mathcal{D}_g)$，该集合在对 $g$ 施加扩展仿射等价变换时保持矩阵相似意义下的不变性。当 $g$ 为平面 DO 多项式时，$\mathrm{Quot}(\mathcal{D}_g)$ 是商 $XY^{-1}$ 的集合，其中 $Y \neq 0, X$ 为对应交换预半域的扩散集元素；且 $\mathrm{Quot}(\mathcal{D}_g)$ 构成阶为 $p^n$ 的域当且仅当 $g$ 等价于平面单项式 $x^2$，即当且仅当与 $g$ 关联的交换预半域同位于一个有限域。作为第二个主要结果，我们分析所有平面 DO 单项式（即奇阶且同位于有限域或交换扭域的交换预半域）对应的 $\mathrm{Quot}(\mathcal{D}_g)$ 的结构。更精确地，对等价于平面 DO 单项式的 $g$，我们证明任意非零元 $X \in \mathrm{Quot}(\mathcal{D}_g)$ 生成子域 $\mathbb{F}_p[X] \subseteq \mathrm{Quot}(\mathcal{D}_g)$，且 $\mathrm{Quot}(\mathcal{D}_g)$ 包含域 $\mathbb{F}_{p^n}$。