扩展黎曼猜想假设下的确定性多项式因式分解

我们在扩展黎曼猜想 (ERH) 的假设下，研究有限域上单变量多项式的确定性因式分解问题。本研究建立在 Gao 于 $2001$ 年首次探索的方法路线之上。通用方法隐式地构造一个图，以根为顶点，以某种多项式时间可计算的关系形成边。如果该关联图被证明是\emph{正则的}，则算法无法对多项式进行因式分解。在本文的第一部分，我们加强了边关系，使得所得到的图集成为 Gao 图的子图，且所有这些图都必须是\emph{正则的}。在本文的第二部分，我们加强了这些图的正则性条件。这是通过发现它们的算法与用于解决图同构问题的 $1$ 维 Weisfeiler-Leman 算法之间的平行关系来实现的。我们观察到，其算法背后的通用原理是通过计算该图轨道的 $1$ 维 Weisfeiler-Leman 近似来分离根。这引出了一个自然的问题：这种近似是否可以改进。随后，我们展示了如何隐式计算这些图轨道的 $2$ 维 Weisfeiler-Leman 近似。我们的算法无法因式分解的多项式所形成的图是\emph{强正则的}，且其邻接矩阵集构成了一种称为\emph{结合方案}的组合结构。