论有限群的 Weisfeiler-Leman 维数

与图相比，针对有限群同构问题的组合方法不如代数方法发达。为了能够研究有限群和群同构问题的描述复杂性，我们定义了群的 Weisfeiler-Leman 算法。实际上我们定义了该算法的三个版本。与图中三个类似版本轻易一致的情况相反，对群而言情形更为复杂。对群，我们证明其表达能力呈线性关联。我们还给出了每个版本在计数逻辑和双射卵石博弈方面的描述。为构造群的例子，我们设计了一种从图到群的保持同构与不同构的变换。利用高 Weisfeiler-Leman 维数的图，我们构造了高度相似但不同构的群，它们具有相等的 $\Theta(\sqrt{\log n})$-子群轮廓，却仍有 Weisfeiler-Leman 维数 3。这些群是类 2 且指数为 $p$ 的幂零群，它们在诸多组合性质上一致，例如其共轭类的组合结构，并具有高度相似的交换图。结果表明，基于类似组合构造，Weisfeiler-Leman 算法在区分群时可能比区分图更有效。