基于 Weisfeiler-Leman 的群同构并行复杂性

在本文中，我们展示了群的常维 Weisfeiler-Leman 算法（Brachter & Schweitzer, LICS 2020）可被有效用于改进若干群族同构测试的并行复杂性上界。具体而言，我们展示：- 具有阿贝尔正规 Hall 子群且其补群为 $O(1)$-生成的群，由常维 Weisfeiler-Leman 仅用常数轮数即被识别。这将该群族的同构测试置入 $\textsf{L}$；此前同构测试的上界为 $\textsf{P}$（Qiao, Sarma, & Tang, STACS 2011）。- 我们使用个体化-精化范式，通过深度 $O(\log n)$、规模 $n^{O(\log \log n)}$ 的 $\textsf{SAC}$ 电路获得无阿贝尔正规子群的群的同构测试，此前仅知属于 $\textsf{P}$（Babai, Codenotti, & Qiao, ICALP 2012）和 $\mathsf{quasiSAC}^1$（Chattopadhyay, Tor\'an, & Wagner, ACM Trans. Comput. Theory, 2013）。- 我们将 Brachter & Schweitzer（ESA, 2022）关于群直积的结果扩展到并行环境。即，我们也展示 Weisfeiler--Leman 可并行识别直积，前提是它能并行识别每个不可分解直因子。他们此前展示了 $\textsf{P}$ 下的类似结果。我们最后考虑无计数 Weisfeiler--Leman 算法，展示无计数 WL 甚至在多项式时间内无法区分阿贝尔群。尽管如此，我们将无计数 WL 与有界非确定性和有限计数结合使用，获得了阿贝尔群同构测试的 $\beta_{1}\textsf{MAC}^{0}(\textsf{FOLL})$ 新上界。这改进了此前由 Chattopadhyay, Tor\'an, & Wagner（同上）给出的 $\textsf{TC}^{0}(\textsf{FOLL})$ 上界。