平面图上的Weisfeiler-Leman着色研究

Weisfeiler-Leman（WL）算法是一种在图上计算着色的组合过程，常可用于检测图的（非）同构。特别是1维和2维版本1-WL和2-WL由于与其他计算机科学领域的诸多联系而备受关注。了解算法某一维度的表达能力通常等同于理解其所计算的着色。维度的增加导致所计算着色更精细，从而可区分更多图。例如，在平面图类上，3-WL解决了同构问题。然而，2-WL在该类上的表达能力知之甚少（特别地，它甚至可能决定同构）。本文中，我们研究2-WL在平面图上计算的着色。为此，我们分析图中由边颜色类诱导的子图。基于所获得的分类，我们证明对每个3-连通平面图，成立以下之一：a）在用其2-WL颜色对所有点对着色后，该图相对于1-WL具有固定数1，或b）存在一个2-WL可定义的匹配可用于将图转换为更小的图，或c）2-WL检测到一个连通子图，该子图本质上是柏拉图立体或阿基米德立体的图、棱柱、圈或二部图K_{2,\ell}。特别地，情形（a）中的图被2-WL识别。