Graphon 的 Weisfeiler-Leman 不可区分性

颜色细化算法主要作为图同构测试的一种启发式方法而为人所知。它具有令人惊讶但自然的刻画，例如来自树的同态计数和线性方程组的解。Grebík 和 Rocha (2022) 最近展示了颜色细化及其刻画概念如何推广到 graphon，graphon 是作为稠密图极限理论中的极限对象而出现的。特别地，他们证明了这些刻画在 graphon 情形下仍然等价。$k$ 维 Weisfeiler-Leman 算法 ($k$-WL) 是颜色细化的更强变体，它对 $k$ 元组而非单个顶点进行着色，其中术语 $1$-WL 和颜色细化常被交替使用，因为它们计算出等价的着色。我们展示了如何将 Grebík 和 Rocha 的结果推广到 $k$-WL，换言之，$k$-WL 及其刻画如何推广到 graphon。特别地，我们获得了基于有界树宽多重图同态密度和线性方程的刻画。我们给出了一个简单的例子，说明在更一般的 graphon 情形下平行边会产生差异，这意味着 $1$-WL 和颜色细化之间的等价性不再成立。我们还展示了如何通过定义一种对应于有界树宽简单图同态密度的 $k$-WL 变体来恢复这种等价性。