基于颜色细化的降维方法
数据结构与算法
2014-05-01 v2 离散数学
机器学习
最优化与控制
摘要
颜色细化是图同构测试中的一种基本算法例程，几乎出现在所有实用的同构求解器中作为子程序。它将图的顶点划分为“颜色类”，使得同一颜色类中的所有顶点在每个颜色类中拥有相同数量的邻居。Tinhofer (Disc. App. Math., 1991)、Ramana, Scheinerman 和 Ullman (Disc. Math., 1994) 以及 Godsil (Lin. Alg. and its App., 1997) 建立了颜色细化与图的分数同构之间的紧密对应关系，后者是图同构自然整数线性规划 (ILP) formulations 的线性规划 (LP) 松弛解。我们引入了一种针对矩阵的颜色细化版本，并扩展了用于计算颜色类的现有准线性算法。随后，我们推广了颜色细化与分数自同构之间的对应关系，并发展了矩阵的分数自同构与同构理论。我们将结果应用于降低线性方程组和线性规划的维度。具体而言，我们证明任何给定的线性规划 都可以高效地转换为一个（可能）更小的线性规划 ，其变量和约束的数量等于应用于与该线性规划相关联的矩阵的颜色细化算法所产生的颜色类数量。这种转换使得我们可以通过线性映射轻松地在两个线性规划之间来回映射可行解和最优解。我们通过实证表明，颜色细化确实可以大幅降低求解线性规划的成本。
引用
@article{arxiv.1307.5697,
title = {Dimension Reduction via Colour Refinement},
author = {Martin Grohe and Kristian Kersting and Martin Mladenov and Erkal Selman},
journal= {arXiv preprint arXiv:1307.5697},
year = {2014}
}