Tinhofer 图的层次结构：分离与成员测试

颜色细化是一种在实践中对图同构问题非常有效的重要技术。Tinhofer 图是一类图，对于这类图，细化结合个体化能够正确测试其与任何其他图的同构性，而不管个体化过程中顶点的选择如何。鉴于 Tinhofer 图构成了基于颜色细化的高效图同构测试的自然边界，本文中，我们在 Tinhofer 图类内部引入了一个图类的层次结构。我们称一个图 $G$ 是 $k$-Tinhofer 的，如果在 $k$ 轮个体化和细化之后，对于每个图 $H \cong G$，无论个体化过程中顶点的选择如何，得到的着色图都保持同构。Arvind 等人（2017）研究了一个受颜色细化启发的图类层次结构——离散图、顺从图、Tinhofer 图和可细化图。我们证明 $k$-Tinhofer 层次结构位于所有图类和 Tinhofer 图之间，其中可细化图与该层次结构的第一级重合。我们获得了 $k$-Tinhofer 图的两个特征：一个基于自同构群逐点稳定子诱导的轨道划分的代数特征，以及一个基于个体化-细化树和商图的组合特征。对于每个固定的整数 $k \ge 0$，存在是 $k$-Tinhofer 但不是 $(k + 1)$-Tinhofer 的顶点着色图。对于每个固定的整数 $k \ge 0$，判定一个给定的 $k$-Tinhofer 图是否是 ($k + 1$)-Tinhofer 的问题在均匀 $\mathsf{AC^0}$ 多一归约下是 $P$-难的。我们证明，测试一个 $(n - k)$-Tinhofer 图 $G$ 与一个任意图 $H$ 之间的同构性，关于参数 $k$ 是固定参数可解的。