打破可调图的对称性

本文考虑两种打破图的对称性的方法：区分标记和固定集。图的区分标记 $\phi$ 对图 $G$ 的顶点进行着色，以便标记图 $(G, \phi)$ 唯一的自同态是恒等映射。图 $G$ 的区分数 $D(G)$ 是创建区分标记所需的最少颜色数。$G$ 的固定集是顶点子集 $S$，若唯一将 $S$ 中的每个元素固定的图 $G$ 的自同态是恒等映射，则 $S$ 为固定集。图 $G$ 的固定数 $Fix(G)$ 是最小固定集的大小。图 $G$ 的固定集 $S$ 可通过为 $S$ 中的顶点分配不同颜色、为不在 $S$ 中的顶点分配另一种颜色（例如“空”颜色）来转化为区分标记 $\phi_S$。颜色细化是图同构的众所周知的高效启发式方法。如果对于任意图 $H$，颜色细化能正确确定 $G$ 与 $H$ 是否同构，则称图 $G$ 为可调图。以 Arvind 等人对可调图的表征为出发点，我们展示，当 $G$ 为可调图时，$D(G)$ 和 $Fix(G)$ 可在 $O((|V(G)|+|E(G)|) \log |V(G)|)$ 时间内计算。