树的固定数与区分数的研究

若图 $G$ 的顶点可标记，则称为 $D$-可区分图，若仅保留标签不变的唯一自同态为恒等映射，则称其为 $D$-可区分。图 $G$ 的区分数为使其 $D$-可区分的最小 $D$ 值。图 $G$ 的固定数为使仅由平凡自同态固定的顶点子集的最小基数。我们证明，任意秩至少为 $3$ 的 $2$-可区分树的固定数至多为 $4n/11$，或至多为 $(D-1)n / (D+1)$（当 $D \geq 3$ 时）。对于任意 $D$ 与 $r$ 至少为 $2$，我们通过构造通用树 $T_r^D$ 来特征化半径为 $r$ 的 $D$-可区分树，其性质为：半径为 $r$ 的树 $T$ 若且唯一定位于 $T_r^D$ 的分支上，则 $T$ 为 $D$-可区分。我们获得了类似的通用树集合，用于常数涂色成本谱的性质，即在 $D$-着色的 $T$ 中，颜色类补集的最小大小等于固定数。最后，我们以顶点偏心数为依据，给出树的区分数和固定数的下界。