区分具有无限运动和 nonlinear growth 的图

图 $G$ 的区分数 $\operatorname D(G)$ 是最小基数 $d$，使得 $G$ 存在一个使用 $d$ 个标签的标记，且该标记仅被平凡自同构保持。我们证明了具有无限运动且增长率为 $o \left(\frac{n^2}{\log_2 n} \right)$ 的无限、局部有限、连通图 $G$ 的区分数为 1 或 2，从而证明了 Tom Tucker 针对此类图提出的无限运动猜想。对于具有可数多个端点且增长不过快的图，结论同样成立。我们还证明，如果每个非平凡自同构至少移动不可数多个顶点 $m(G)$（其中 $m(G) \geq \left\vert\operatorname{Aut}(G)\right\vert$），则任意基数的图 $G$ 都是 2-可区分的。这将 Imrich 等人的结果推广到了具有任意基数自同构群的图。