无限图区分数的界
组合数学
2013-02-19 v1
摘要
集合 V 上的置换群 G 被称为 k-可区分的，如果存在一种将 V 划分为 k 个部分的划分，使得 G 中只有单位置换能集合式地固定该划分的所有单元。使得 (G,V) 为 k-可区分的最小基数 k 称为其区分数。特别地，若图 X 的自同构群 Aut(X) 在其顶点作用下的区分数至多为 k，则称图 X 是 k-可区分的。文献中的各种结果表明，当无限图缺乏某些性质时，往往其某个有限子图也存在类似的缺陷。本文证明，对于给定的基数 k，只要无限连通图 X 不是 k-可区分的，它就包含一个有限半径的球 B，其区分数至少为 k。此外，这一下界无法被 sharpened（锐化），因为对于任何大于 3 的整数 k，都存在一个无限、局部有限、连通的图 X，它不是 k-可区分的，但其每个有限半径的球都是 k-可区分的。在本文的后半部分，我们表明，非本原图 X 的高区分数可追溯至其本原块的高区分数，或 Aut(X) 在相应非本原系上的诱导作用的高区分数。无限本原图的区分数已在作者与 Tom W. Tucker 合作的前一篇论文中进行了详细考察。
引用
@article{arxiv.1302.4409,
title = {Bounding the distinguishing number of infinite graphs},
author = {Simon M. Smith and Mark E. Watkins},
journal= {arXiv preprint arXiv:1302.4409},
year = {2013}
}