图的代价数与决定数

图 $G$ 的区分数 $D(G)$ 是使得 $G$ 存在一个仅被平凡自同构保持的、使用 $d$ 个标号的顶点标号的最小整数 $d$。在 $G$ 的满足 $D(G) = d$ 的这种标号中，标号类的最小大小称为 $d$-区分 $G$ 的代价，记为 $\rho_d(G)$。顶点集 $S\subseteq V(G)$ 是 $G$ 的一个决定集，如果 $G$ 的每个自同构都由其在 $S$ 上的作用唯一确定。$G$ 的决定数 $\mathrm{Det}(G)$ 是 $G$ 的决定集的最小基数。本文中，我们基于 $\mathrm{Det}(G)$ 得到了 $\rho_d(G)$ 的一些一般上界和下界。最后，我们计算了友谊图以及两个图的冠积的代价和决定数。