涂色代价与节俭区分数

给定一个顶点为中性色的图，要求用 $d$ 种颜色的昂贵颜料对一部分顶点着色，使得仅平凡对称性保持颜色类。你的目标是使需要这种昂贵颜料的顶点数最少。本文探讨与此选择相关的问题。特别地，若存在一种用 $d$ 种颜色的着色使得仅平凡自同构保持颜色类，则称该图是 $d$-可区分的。图 $G$ 的区分数记为 ${\rm Dist}(G)$，是使 $G$ 为 $d$-可区分的最小 $d$。我们定义 $d$-区分的涂色代价，记为 $\rho^d(G)$，为对 $G$ 进行 $d$-区分所需涂色的最少顶点数。该代价随 $d$ 变化。 $G$ 的最大涂色代价称为上涂色代价，记为 $\rho^u(G)$，出现在 $d={\rm Dist}(G)$ 时；最小涂色代价称为下涂色代价，记为 $\rho^\ell(G)$。进一步，我们定义使涂色代价为 $\rho^\ell(G)$ 的最小 $d$ 为节俭区分数 ${\rm Fdist}(G)$。本文正式定义 $\rho^d(G)$、$\rho^u(G)$、$\rho^\ell(G)$ 与 ${\rm Fdist}(G)$。我们还证明 $\rho^u(G)$ 与 $\rho^\ell(G)$，以及 ${\rm Fdist}(G)$ 与 ${\rm Dist}(G)$，可以任意大倍数地相互超过。最后，我们求出书图 $B_{m,n}$ 的这些参数，总结如下。对 $n\geq 2$ 且 $m\geq 4$，我们证明 $\bullet$ $\rho^\ell(B_{m,n}) = n-1;$ $\bullet$ $\rho^u(B_{m,n}) \geq (m-2) \left( n-k^{m-3} \right) +1$，其中 $k={\rm Dist}(B_{m,n});$ $\bullet$ ${\rm Fdist}(B_{m,n}) = 2+\left\lfloor \frac{n-1}{m-2} \right\rfloor.$