完美$k$叉树的涂色代价谱

我们确定了完美$k$叉树的涂色代价谱。用$d$种颜色对图$G$的顶点进行着色，如果只有平凡自同构保持颜色类不变，则称该着色为$d$-区分着色。最小的这样的$d$称为$G$的区分数，记为$\mbox{dist}(G)$。$d$-区分$G$的涂色代价，记为$\rho^d(G)$，是在所有$d$-区分着色中颜色类补集的最小大小。$G$的顶点子集$S$称为$G$的固定集，如果逐点固定$S$中顶点的唯一自同构是平凡自同构。最小固定集的基数记为$\mbox{fix}(G)$。本文通过研究我们定义的图$G$的涂色代价谱：$(\mbox{dist}(G); \rho^{\mbox{dist}(G)}(G), \rho^{\mbox{dist}(G)+1}(G), \dots, \rho^{\mbox{fix}(G)+1}(G))$以及$G$的涂色代价比（定义为涂色代价谱中等于$\mbox{fix}(G)$的涂色代价所占的比例），来探索完美$k$叉树中的对称性破缺。我们完全确定了完美$k$叉树的涂色代价谱和涂色代价比。我们还证明了一个本身具有独立意义的引理：给定有序阿贝尔群中$n$个不同元素组成的$n$元组（$n \geq 2$）以及$1 \leq k \leq n! -1$，存在一个$k \times n$的行置换矩阵，其列和互不相同。