广义 Mycielskian 图的确定数与代价

顶点集 $S$ 是图 $G$ 的一个确定集,如果 $G$ 的每个自同构都由其在 $S$ 上的作用唯一确定。$G$ 的最小确定集的大小称为其确定数 $Det(G)$。若用 $d$ 种颜色对顶点着色使得只有平凡自同构保持颜色类,则称图 $G$ 是 $d$-可区分的。满足此性质的最小 $d$ 为区分数 $Dist(G)$。若 $Dist(G)=2$,则 2-区分的代价 $\rho(G)$ 为 $G$ 的所有 2-区分着色中最小颜色类的大小。图 $G$ 的 Mycielskian $\mu(G)$ 通过添加一个影子主顶点 $w$,并对 $G$ 的每个顶点 $v_i$ 添加一个影子顶点 $u_i$ 且连边使得 $u_i$ 在 $\mu(G)$ 中的邻域与 $v_i$ 在 $G$ 中的邻域相同并加上 $w$ 而构造,即 $N(u_i)=N_G(v_i)\cup\{w\}$。图 $G$ 的广义 Mycielskian $\mu^{(t)}(G)$ 是一个具有 $t$ 层影子顶点、每层与上下层连边、且 $w$ 仅与顶层影子顶点相邻的 Mycielskian 图。若无一对顶点具有相同的邻域集,则称图是无孪生的。本文研究了无孤立顶点的简单图的 Mycielskian 与广义 Mycielskian 的确定数,以及相关的 2-区分代价。特别地,若 $G \neq K_2$ 为无孤立顶点且无孪生点的图,则 $Det(\mu^{(t)}(G)) = Det(G)$。进一步,若 $Det(G)= k \geq 2$ 且 $t \ge k-1$,则 $Dist(\mu^{(t)}(G))=2$,且 $Det(\mu^{(t)}(G)) = \rho(\mu^{(t)}(G))= k$。对于含孪生点的 $G$,我们利用关于孪生顶点等价类的商图建立了框架,给出了 Mycielskian 确定数的界。此外,我们识别出满足 $Det(\mu^{(t)}(G)) = (t{+}1) Det(G)$ 的含孪生点图类。