超立方体 2-区分的代价

若图 $G$ 存在一种用两个标签对顶点进行标记的方式，使得只有平凡自同构保持标签，则称该图是{\it $2$-可区分的}。在所有 2-区分标记中，某一标签类的最小大小称为{\it $2$-区分的代价}，记为 $\rho(G)$。对于 $n\geq 4$，超立方体 $Q_n$ 是 2-可区分的，但 $\rho(Q_n)$ 的值一直难以确定，此前仅知边界与部分结果。本文解决了这一问题。主要结果可概括为：对于 $n\geq 4$，$\rho(Q_n) \in \{1+\lceil \log_2 n \rceil, 2 + \lceil \log_2 n\rceil\}$。利用涉及新参数 $\nu_m$（即满足 $\rho(Q_{\nu_m})=m$ 的最小整数）的递归关系可求得精确值。主要结果为\begin{gather*} 4\leq n \leq 12\Longrightarrow \rho(Q_n)=5, \text{ 且 } 5\leq m \leq 11 \Longrightarrow \nu_m=4; \ \text{ 对于 } m\geq 6, \rho(Q_n) = m \iff 2^{m-2} - \nu_{m-1} + 1 \leq n \leq 2^{m-1}-\nu_m; \ \text{ 对于 } n\geq 5, \nu_m = n \iff 2^{n-1} - \rho(Q_{n-1}) + 1\leq m \leq 2^{n}-\rho(Q_n).\end{gather*}