区分密度与不同球条件

若图$G$的区分数为2，则存在其顶点集到两部分的划分，使得$G$的任意非平凡自同构都不逐集固定这两部分。这样的划分称为$G$的2-区分着色，这两部分称为其颜色类。若$G$容许这样的着色，常可找到另一种着色，其中某一颜色类在某种意义下是稀疏的。此时我们说$G$具有零2-区分密度。一个极端例子是无限图容许一种2-区分着色，其中某一颜色类有限。若图$G$包含一个顶点$v$，使得对所有$n \in \mathbb N$，任意两个与$v$等距的不同顶点具有不相等的$n$-球，则我们说$G$满足不同球条件。本文证明一个一般结果：任何满足不同球条件的可数连通图都是零密度2-可区分的。我们给出两种证明，一种使用确定性着色，另一种(仅适用于局部有限图)使用随机着色。由此结果，我们推得若干重要的可数无限连通图族是零密度2-可区分的，包括局部有限且本原的图。此外，我们证明任何具有无限运动与次二次增长的连通图是零密度2-可区分的。