矩阵对的多项式相似性

设 $K$ 为一个域，$R=K[x, y]$ 为多项式环，$\mathcal{M}(K)$ 为同一维度方阵对的集合。来自 $\mathcal{M}(K)$ 的两个对 $P_1=(A_1,B_1)$ 和 $P_2=(A_2,B_2)$ 若存在某个域 $K$ 上的可逆矩阵 $X$ 使得 $A_2=X^{-1}A_1X$ 且 $B_2=X^{-1}B_1X$，则称其为相似的。记 $\mathcal{N}(K)$ 为 $\mathcal{M}(K)$ 的子集，包含所有交换的零化约束矩阵对。若对 $P$ 满足 $\overline{A}=f(A,B)$，$\overline{B}=g(A ,B)$ 且存在多项式 $f, g\in K[x,y]$ 满足以下条件：$f(0,0)=0, g(0,0)=0$ 且 ${\rm det} J(f, g)(0, 0)\not =0$（其中 $J(f, g)$ 为 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 的雅可比矩阵），则称 $P$ 与 $\overline{P}=(\overline{A}, \overline{B})$ 多项式等价。若来自 $\mathcal{N}(K)$ 的两个矩阵对 $P(A,B)$ 和 $\widetilde{P}(\widetilde{A}, \widetilde{B})$ 存在来自 $\mathcal{N}(K)$ 的一个对 $\overline{P}(\overline{A}, \overline{B})$ 使得 $P$ 与 $\overline{P}$ 多项式等价且 $\overline{P}$ 与 $\widetilde{P}$ 相似，则称 $P(A,B)$ 与 $\widetilde{P}(\widetilde{A}, \widetilde{B})$ 多项式相似。本文的主要结果表明：矩阵对的多项式相似性分类问题是野性的，即它包含了矩阵对相似性分类的经典不可解问题。