矩阵的相似幂

设 $p,q$ 为互质整数且满足 $|p|+|q|>2$。我们对使得 $A^p$ 和 $A^q$ 相似的矩阵 $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ 进行了刻画。如果 $A$ 可逆，我们证明 $A$ 是 $A^p$ 和 $A^q$ 的多项式。为了实现这一点，我们研究了矩阵方程 $B^{-1}A^pB=A^q$。我们证明对于此类矩阵，$B^{-1}AB$ 和 $A$ 可交换。当 $A$ 可对角化时，$A$ 是 $I_n$ 的根，且 $B^{-1}AB$ 是 $A$ 的幂。当 $A$ 具有 $n$ 个不同的特征值或 $A$ 仅有一个特征值时，我们显式求解了前述方程。在第二部分，我们完全求解了更一般的矩阵方程 $A^{r}B^{s}A^{r'}B^{s'}=\pm{I}_2$ 的 $2\times{2}$ 情形。