一类线性递归序列的公共值

设 $(a_n), (b_n)$ 分别为特征多项式 $A(X),B(X)\in \mathbb{Z}[X]$ 的整数线性递归序列。假设 $A(X)$ 有一个占优且单重的实根 $\alpha$，而 $B(X)$ 有一对共轭复的占优且单重根 $\beta,\bar{\beta}$。进一步假设 $\alpha/ \beta$ 与 $\bar{\beta}/\beta$ 均非单位根，且 $\delta = \log |\alpha|/ \log |\beta| \in \mathbb{Q}$。则存在可有效计算的常数 $c_0,c_1>0$，使得对所有满足 $\max\{n,m\}>c_1$ 的 $n,m \in \mathbb{Z}^2_{\ge 0}$，不等式 $$|a_n - b_m| > |a_n|^{1-(c_0 \log^2 n)/n}$$ 成立。