固定递推序列正态向量集合的巴尔赫复杂性

本文考虑递推数列 $x_n=\xi_1 \alpha_1^n+\xi_2 \alpha_2^n$（$n=0,1,\ldots$），其伴随多项式为 $P(X)$。例如，数列 $x_n=\xi_1(4+\sqrt{2})^n+\xi_2(4-\sqrt{2})^n$ 满足递推 $x_{n+2}-8x_{n+1}+14x_n=0$，伴随多项式为 $P(X)=X^2-8X+14=(X-4-\sqrt{2})(X-4+\sqrt{2})$。我们称 $(\xi_1,\xi_2)$ 相对于由 $P(X)$ 决定的递推关系正态，当 $(x_n)_{n\ge 0}$ 对模 1 均匀分布时。确定固定递推数列正态向量集合的巴尔赫复杂性即使针对大多数几何级数也尚未解决。在某些假设下，我们证明了正态向量集合为 $\boldsymbol{\Pi}_3^0$-complete。一个特殊情况是：数集正规进制 $\alpha$，即 $\{\xi\in \mathbb{R}\mid (\xi\alpha^n)_{n\geq 0}\mbox{ is u.d. modulo one.} \}$，对于每个绝对值为 Pisot 的实数 $\alpha$ 均为 $\boldsymbol{\Pi}_3^0$-complete。我们以有限词语的形式分析递推数列的小数部分。证明主要结果的一个难点在于，即使当递推数列对模 1 均匀分布时，尚不知道其对应数字展开的平均数字频率是否存在或甚至必须存在。