连分数正规而绝对非正规的数的 Borel 复杂度

我们表明连分数展开的正规性与基-$b$ 展开的正规性在逻辑上是极大分离的。特别地，关于连分数展开正规但对固定 $b\ge 2$ 非基-$b$ 正规的数集是 $D_2(\boldsymbol{\Pi}_3^0)$-完全的。此外，关于连分数展开正规但对\emph{任意}基-$b$ 展开均非正规的数集是 $D_2(\boldsymbol{\Pi}_3^0)$-困难的，这证实了此类数存在不可数多个，而此前仅在广义黎曼假设下才已知。通过改变证明方法，我们也能够表明基-$2$ 正规、基-$3$ 非正规的数集同样是 $D_2(\boldsymbol{\Pi}_3^0)$-完全的。我们还证明了一个关于具有固定分母的分数之连分数展开正规性性质的辅助结果。