通过具有 specification 性质的子移位中泛型点研究正规数集的 Borel 复杂度

我们研究多种进位制系统中正规数集的 Borel 复杂度。从动力系统视角出发，我们对连分数展开与基 $r$ 展开及其各种推广（广义 L"uroth 级数展开与 $\beta$-展开）给出统一处理。事实上，我们考虑在可数字母表上由 $[0,1)$ 中数的所有可能展开生成的子移位。此时正规数对应于移位不变测度的泛型点。结果表明，对这些子移位，移位不变概率测度的泛型点集恰位于 Borel 层级的第三层（它是 $\Pi^0_3$-完全集，即它是 $F_\sigma$-集的可数交，但无法将其写为 $G_\delta$-集的可数并）。我们还解决了 Sharkovsky--Sivak 关于统计吸引域的 Borel 复杂度问题。我们需要的关键动力系统特征是一种微弱的 specification 性质。上述所有展开都生成具有此性质的子移位。因此所考虑的正规数集均为 $\Pi^0_3$-完全的。