理想极限点集的 Borel 复杂度

设 $X$ 为不可数 Polish 空间，$\mathcal{I}$ 为 $\omega$ 上的理想。点 $\eta \in X$ 是取值于 $X$ 的序列 $(x_n)$ 的 $\mathcal{I}$-极限点，如果存在收敛于 $\eta$ 的子序列 $(x_{k_n})$ 使得指标集 $\{k_n: n \in \omega\}\notin \mathcal{I}$。记 $\mathscr{L}(\mathcal{I})$ 为满足以下条件的子集族 $S\subseteq X$：$S$ 是某个取值于 $X$ 的序列的 $\mathcal{I}$-极限点集，或者 $S$ 为空集。在本文中，我们研究理想 $\mathcal{I}$ 的拓扑复杂度、其组合性质以及可达的集族 $\mathscr{L}(\mathcal{I})$ 之间的关系。在正面结果方面，我们针对 $\mathscr{L}(\mathcal{I})$ 与 Borel 类 $\Pi^0_1$、$\Sigma^0_2$ 和 $\Pi^0_3$ 之间的包含与相等关系，给出了理想 $\mathcal{I}$ 的几个纯组合（不依赖于空间 $X$）刻画。作为推论，我们证明如果 $\mathcal{I}$ 是 $\Pi^0_4$ 理想，则以下情况恰有一种成立：$\mathscr{L}(\mathcal{I})=\Pi^0_1$ 或 $\mathscr{L}(\mathcal{I})=\Sigma^0_2$ 或 $\mathscr{L}(\mathcal{I})=\Sigma^1_1$（然而我们没有 $\mathscr{L}(\mathcal{I})=\Sigma^1_1$ 的 $\Pi^0_4$ 理想的例子）。此外，我们提供了一个余解析理想 $\mathcal{I}$ 的显式例子，使得 $\mathscr{L}(\mathcal{I})=\Sigma^1_1$。在反面结果方面，我们证明不存在理想 $\mathcal{I}$ 使得 $\mathscr{L}(\mathcal{I})=\Pi^0_2$ 或 $\mathscr{L}(\mathcal{I})=\Sigma^0_3$。最后，我们提出了几个开放问题。