具有规格性质的Polish动力系统中具规定Birkhoff平均的点集的Borel复杂度

我们研究在Polish空间上的动力系统中，通过限制其轨道的统计行为所定义的点集的描述复杂度。此类集合的一个特例是$T$-不变Borel概率测度的泛点集，但我们也考虑更一般的集合（例如，$\alpha$-Birkhoff正则集以及连续实值函数遍历平均多重分形分析中出现的不规则集）。我们证明这些集合中有许多是Borel集。事实上，当我们假设空间是紧时，所有这些集合都是Borel集。我们给出这些集合为非Borel集的例子，它们恰当地位于投影层谱的第一层（它们是完备解析或余解析的）。这证明了紧性假设在有些情况下对得到Borel性是必要的。当这些集合是Borel集时，我们使用Borel层谱来度量它们的描述复杂度。我们证明所关心的集合至多位于层谱的第三层。我们还使用修正版的规格性质来证明对许多动力系统这些集合恰当地位于第三层。为说明规格性质是泛点集达到最大描述复杂度的充分而非必要条件，我们给出一个紧极小系统的例子，其带一个不变测度的泛点集是$\Pi^0_3$-完备的。