光滑曲面系统中可能包含无最大熵测度的光滑曲线

本文研究动力系统中解析子集的熵最大概率测度。众所周知，映射在光滑空间上的光滑性在研究熵最大不变测度方面发挥着重要作用。纽奇斯的著名定理表明，光滑紧致流形上的光滑微分同胆具有熵最大不变测度。然而，我们展示了当研究解析子集的测度时，情况完全不同。也就是说，我们构造了一个包含无熵最大概率测度的光滑曲线的光滑曲面系统。另一个证据表明，一旦解析集合拥有一个熵最大测度，则该集合拥有多个熵最大测度（无论是考虑 packing 熵还是鲍森熵）。对于一般动力系统，若其顶点熵为 $h_\mathrm{top}(T)$，则我们将证明该系统不仅包含一个拥有熵最大概率测度且熵足够接近 $h_\mathrm{top}(T)$ 的布尔子集，还包含一个拥有无熵最大概率测度且熵等于给定正实数（且不超过 $h_\mathrm{top}(T)$）的布尔子集。我们还在所有 $h$-展开系统中，对解析子集拥有熵最大概率测度的情形给出完整特征化。因此，若令 $Z\subset \mathbb{R}^n$ 为任意一个在欧几里得空间中具有正 Hausdorff 维数的解析子集，则集合 $Z$ 要么拥有一个满下 Hausdorff 维的测度，要么可划分为可数个 $\{Z_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ 的并集，其中每个 $i$ 都满足 $\dim_{\mathcal{H}}(Z_i) < \dim_{\mathcal{H}}(Z)$。